Q1：为什么有理数一定能表示为一个有限小数或无限循环小数，以及怎么把一个无限循环小数化为它的既约分数形式？
这里有两个问题。
第一个，你可以回顾一下除法竖式计算过程，把余数翻下来，补上一位（或几位，以大于除数1/10小于除数）把原被除数后面的数字（小数点后可以无限补0），由于除数被除数都是有限，翻下来的余数（小于被除数）总是有限的，总有一次，余数会出现重复，此时就会一直循环，或余数0，就是有限了。
第二个问题。小学有公式。数列我就不说了，一种简单的方法就是一元一次方程。举个例子，0.1|42|（就以两丨之间表示循环节，下同），设x=0.1|42|，则10x=1.|42|①，1000x=142.|42|②，②-①得到990x=141，x=141/990=47/330。
Q2：分数要么可以化成有限小数，要么可以化
说得对。分数要么可以化成有限小数，要么可以化成循环小数。不能化成无限不循环小数。
根据：一、数的分类：整数和分数统称为有理数，
无限不循环小数叫无理数；
二、有限小数和循环小数都可以化成分数。wWw.BaZhiS▶Hi.cOm
Q3：分母是什么样的分数能化成有限小数
分母是5和2的倍数的分数能化成有限小数
把分数化成小数，基本方法是用分子除以分母，既然是除法，一定会有除尽和除不尽的情况。
一个分数能否化成有限小数，和分子无关，和分母有关。分母如果除了2和5以外，没有其他的质因数，那么这个分数就能化成有限小数，前提是这个分数必须是最简分数。
以1/24和1/16为例。
1/24，分母是24，把24分解质因数，（用短除法，这个方法在课堂上学习过。）24=2×2×2×3，那么24就是含有2和5以外的质因数3，所以1/24不能化成有限小数。
可是如果问3/24能不能化成有限小数，只看分母似乎是不能，但是这里要考虑3/24是不是最简分数，3/24不是最简分数，可以化成1/8，而8这个数只有质因数2，所以3/24=1/8，能够化成有限小数。
同理，1/16中分母是16.，分解质因数后，16=2×2×2×2，只有质因数2，所以1/16，一定能化成有限小数。
判断的时候要注意：
1、必须是最简分数。
2、和分子无关，只看分母。
3、用短除法分解质因数后，看看质因数中有没有2和5以外的质因数。
常见的可以化成有限小数的分母有：2、4、8、10、16、32、64、5、25、125等。其中有一些分数的分数值必须背下来，这样才能在计算时候速度和准确率更高。
1/2=0.5、1/4=0.25、3/4=0.75、1/8=0.125、3/8=0.375、5/8=0.625、7/8=0.875、1/5=0.2、2/5=0.4、3/5=0.6、4/5=0.8、以上必须牢记。
1/25=0.04知道了1/25就能计算类似3/25这样的分数，用0.04乘3就可以了。下面这些也是一样。
1/16=0.0625、1/125=0.008、1/20=0.05、至于不能化成有限小数分数，按要求，一般要保留两位小数或者三位小数，记得要用“≈”！
Q4：什么样的分数能化成有限小数，什么样的小数能化成纯循环小数，什么样的分数能化成混循环小数？谢谢。
约分后分母中只含有2和5的各次幂的分数能化成有限小数，分母中不含2和5的分数能化成
纯循环小数，分母中包含2和5的分数能化成混循环小数。
0.6循环=6/9=2/3、0.102循环=102/999=34/333、0.216循环=216/999=8/37、0.123循环=123/999=41/333
Q5：分母是偶数的最简分数一定可以化成有限小数.对吗
你好
分母是偶数的最简分数一定可以化成有限小数【错误】
分母是偶数的最简分数，只能说明此分数的分母里含有质因数2，不能说明就没有其他的质因数了，
举个反例【5/6】
Q6：什么样的分数一定能化成有限小数
一个最简分数，如果分母中只含有2和5的质因数，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数。如果一个最简分数的分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数 一个不能化成有限小数的最简分数，必然可以化成无限循环小数。这时，先把这个分数的分母分解质因数。若只含有2和5以外的质因数，而没有2和5，它就能化成纯循环小数。比如2/3=0.666……若分母中既有2和5，又有2和5以外的质因数，这个分数就能化成混循环小数。比如8/15=0.533……若分母中既有2和5以外的质因数中个数较多的这个数，这个分数就能化成无限不循环小数。比如13/161=0.080745341614907……w∴WW.bAZHiShi.CoM
Q7：一个分数一定可以化为有限小数或无限循环小数。
命题：分数不会出现无限不循环小数
证明：
我们可以从整数除法的过程中来看看这个问题：
若存在一个无限不循环小数，可以表示成为最简分数p/q
那么，用p除q，是除不尽的，且得到的小数是无限不循环的。
我们从整数除法当中来看除的过程。
除到某一位时，商位k，余数为r。这个余数一定是有限的（比如，10以内，或100以内，或1000以内。。由q的条件决定）
那么在下面的除法时，不能再出现这个余数（一旦出现，则结果就回进入循环。）
但是余数是有限的，其上限也是有限的，如10以内，那么余数的出现无非这10个数字，即，不可能出现无限的不同的余数。
所以，分数是一定会进入循环的。
命题得证：分数不会出现无限不循环小数。
所以，分数一定可以化为有限小数或无限循环小数。
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