Q1：导函数的左右极限和函数的左右导数有什么区别？
导函数的左或右极限存在，则原函数在该点必定有定义，函数的左右导数存在不要求在该点有定义。
Q2：导函数的左极限与函数的左导数 到底是什么关系
左极限=
limf(x)
左导数=
lim[f(x)-f(x0-)]/[x-(x0-)]
左函数连续可导，左导数=f(x0-)
同理 右极限
Q3：函数在某点的左导数和其导函数在该点的左极限表示的意义有什么区别和联系？
这两个概念是不同的，函数f(x)在x0点的左导数f‘-(x0)是用导数定义求得的，即x趋于x0-时lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)，而在x0点导函数的左极限f(x0-)是先用求导公式求出其导函数的表达式f(x)，再在这个表达式中令x趋于x0-取极限，即x趋于x0-时limf(x)。这是两个不同的概念，完全有可能不相等，或者不同时存在。和连续的类似，左不连续的函数在该点一定没有左导数，但导函数的左极限可能存在，例如f(x)=1x≠0
0x=0
这函数除了x=0点不连续从而不可导以外，其它点都可导且f(x)=0，故x趋于0-时limf(x)=0存在。另外如果函数左连续，导函数左极限不存在时，不一定没有左导数。例如f(x)=(x^2)sin(1/x)x≠0
0x=0
可以证明在x=0处f(x)可导，且f(0)=0，因此x=0处的左右导数都存在且都等于0，而由求导公式求出的f(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)在x趋于0-时极限不存在。wWW.BaZhish‖I.Com
Q4：导函数在某一点的左极限和原函数在该点的左导数一样吗
左导数等于导函数左极限的条件是函数在该点左连续
显然由拉格朗日中值定理,得
lim(x→x0-){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}=lim((x→x0-)f(ξ)(ξ在x与x0之间)
=lim((ξ→x0-)f(ξ)
=lim((x→x0-)f(x)
参考链接: https://www.zybang.com/question/555f972e6685c372bb9b5d8f9fcaf496.html
Q5：请问左(右)导数在什么情况下等于导函数的左(右)极限？谢谢了。
首先关注这个问题是有意义的,如在求或讨论分段函数分界点处导数时。
其次"左(右)导数等于导函数左(右)极限的条件是函数在该点左(右)连续",这可利用拉格朗日中值定理证明。
仅就“左导数等于导函数左极限的条件是函数在该点左连续”证明（右导数等于导函数右极限的条件是函数在该点右连续的证明类似）
显然由拉格朗日中值定理，得
lim(x→x0-){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}=lim((x→x0-)f(ξ)(ξ在x与x0之间)
=lim((ξ→x0-)f(ξ)
=lim((x→x0-)f(x)
